Funtzio jarraitu-en iturria ikusi

[[Matematika]]n, funtzio bat '''jarraitua''' dela esaten da [[Aldagai independente eta dependenteak|aldagai askean]] izandako aldaketa txikiek [[funtzio (matematika)|funtzioaren]] balioan ere aldaketa txikiak eragiten dituztenean. Jarraituak ez diren funtzioak ''ez-jarraituak'' dira. [[Alderantzizko funtzio|Alderantzizko]] jarraitua duen funtzio jarraituari [[homeomorfismo]] deritzo.

Funtzioen jarraitutasuna [[topologia]]ren oinarrizko kontzeptua da, era orokorrean lantzen da aurrerago. Artikulu honen sarrera aldagai [[Zenbaki erreal|errealetako]] funtzioetan ardazten da. Jarraitutasunaren beste kasu sendoago bat [[jarraitutasun uniforme]]a da. Gainera, artikulu honetan bi [[espazio metriko]]ren arteko funtzioen jarraitutasunaren kasu orokorragoaren definizioa lantzen da. [[Ordena teoria]]n, bereziki [[domeinu teoria]]n, [[Scotten jarraitutasun]]a kontsideratu daiteke. Beste jarraitutasun motak existitzen dira, baina ez dira lantzen artikulu honetan.

Jarraitutasunaren definizio zehatza badago ere, [[intuizio|intuitiboki]] funtzioa jarraitua da [[definizio-eremu]]ko [[tarte (matematika)|tarte]] batean bere [[funtzio baten irudikapen grafiko|grafikoa]] arkatza paperetik altxatu gabe marraz daitekeenean. Adibidez, izan bedi <math>h(t)</math> funtzioa, lore baten altuera deskribatzen duenta <math>t</math> denboran. Funtzio hau jarraitua da. Aldiz, <math>D(t)</math>-k banku kontu batean dagoen diru kopurua adierazten badu <math>t</math> denboran, funtzioak salto egiten du dirua sartu edo ateratzen denean; beraz funtzio ez-jarraitua da.

== Historia ==
Jarraitutasunaren [[Limite#Definizio zehatza|epsilon-delta erako]] lehen definizioa [[Bernard Bolzano]]k eman zuen 1817. urtean. [[Augustin-Louis Cauchy]]k horrela definitu zuen <math>y=f(x)</math> funtzioaren jarraitutasuna:<ref>{{Cite book|hizkuntza=fr|izenburua=Cours d'Analyse|urtea=1821|abizena=Cauchy|izena=Augustin-Louis|orrialdeak=|orrialdea=34|argitaletxea=|ISBN=}}</ref>

{{aipu|<math>\alpha</math> aldaketa infinituki txikiak <math>x</math> aldagai askean beti eragiten du  <math>f(x+\alpha)-f(x)</math> aldaketa infinituki txikia <math>y</math> aldagai dependentean.|[[Augustin-Louis Cauchy]]: ''[[Cours d'Analyse]]'', 1821, 34. orrialdea}}

Cauchyk kantitate infinituki txikiak kantitate aldakorren arabera definitu zituen, eta bere definizioa gaur egungo definizio infinitesimalaren antzekoa da (ikus [[mikrojarraitutasun]]a). Puntuz puntuko jarraitutasunaren eta [[jarraitutasun uniforme]]aren arteko desberdintasuna eta definizioa Bolzanok eman zituen 1830ko hamarkadan, baina bere lana ez zen 1930ko hamarkada arte argitaratu. Bolzano bezala,<ref>{{cite book|hizkuntza=de|abizena=Bolzano|izena=Bernard|izenburua=Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewaehren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege|argitaletxea=Haase|lekua=Praga|urtea=1817}}</ref> [[Karl Weierstrass]]ek<ref>{{Erreferentzia|izena=Pierre|abizena=Dugac|izenburua=Eléments d'analyse de Karl Weierstrass|orrialdeak=41–174|hizkuntza=fr|data=1973-01-01|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF00343406|aldizkaria=Archive for History of Exact Sciences|alea=1-2|zenbakia=10|issn=1432-0657|doi=10.1007/BF00343406|sartze-data=2018-12-26}}</ref> funtzio baten jarraitutasuna <math>c</math> puntuan ukatzen zuen funtzioa <math>c</math>-n eta bere bi aldeetan definituta baldin ez bazegoen, baina [[Édouard Goursat]]ek<ref>{{Erreferentzia | hizkuntza=en| abizena=Goursat | izena=E. | izenburua=A course in mathematical analysis | argitaletxea=Ginn | lekua=Boston | data=1904 | orrialdea=2}}</ref> funtzioa <math>c</math>-ren alde bakarrean definituta egotea baimendu zuen eta [[Camille Jordan]]ek<ref>{{Erreferentzia |hizkuntza=fr| abizena=Jordan | izena=M.C. | izenburua=Cours d'analyse de l'École polytechnique | argitaletxea=Gauthier-Villars | lekua=Paris | edizioa=2 |data=1893 | alea=1|orrialdea=46}}</ref> baimendu zuen <math>c</math>-n bakarrik definituta bazegoen ere. Puntuz puntuko jarraitutasunaren hiru definizio ez-baliokide hauek oraindik erabiltzen dira.<ref>{{Erreferentzia|hizkuntza=en|abizena=Harper|izena=J.F.|izenburua=Defining continuity of real functions of real variables|aldizkaria=BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics|year=2016|doi=10.1080/17498430.2015.1116053|orrialdeak=1–16}}</ref> [[Edouard Heine]]k eman zuen jarraitutasun uniformearen lehen definizio argitaratua 1872. urtean, baina bere ideiak [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichletek]] eman zituen 1854. urtean.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Bolzano and uniform continuity|orrialdeak=303–311|hizkuntza=en|data=2005-08-01|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086004000849|aldizkaria=Historia Mathematica|alea=3|zenbakia=32|issn=0315-0860|doi=10.1016/j.hm.2004.11.003|sartze-data=2018-12-26}}</ref>

== Funtzio errealak ==
=== Definizioa ===
[[Fitxategi:Function-1 x.svg|thumb|<math>f(x)=\tfrac 1x</math> funtzioa <math>\R\smallsetminus \{0\}</math> definizio-eremuan jarraitua da, baina ez da jarraitua <math>R</math> osoan, <math>x=0</math> puntuan ez dagoelako definituta.]]

[[Funtzio erreal]] bat, hau da, [[zenbaki erreal]]etatik zenbaki errealetara doan [[funtzio (matematika)|funtzio]] bat; [[Funtzio baten irudikapen grafiko|grafo]] baten bitartez irudikatu daiteke [[Koordenatu kartesiar|plano kartesiarrean]]. Funtzio hori jarraitua da grafoa [[Kurba (matematika)|kurba]] ez-apurtu baten bitartez irudikatu baldin badaiteke, kurbaren [[definizio-eremu]]a zuzen erreal osoa izanda. Jarraian definizio zehatzago bat ematen da.<ref>{{cite web | hizkuntza=en|url=http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | izenburua=Continuity and Discontinuity | abizena=Speck | izena=Jared | urtea=2014 | orrialdea=3 | access-date=2016-09-02 | website=MIT Math | aipua=Example 5. The function 1/''x'' is continuous on (0, ∞) and on (−∞, 0), i.e., for ''x'' > 0 and for ''x'' < 0, in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely ''x'' = 0, and it has an infinite discontinuity there.}}</ref>

Funtzio errealen jarraitutasunaren definizio zehatza [[limite]]en bitartez ematen ohi da. <math>x</math> aldagaia duen <math>f</math> funtzio bat <math>c</math> ''puntuan'' jarraitua da baldin eta <math>f(x)</math>-ren limitea <math>x</math> <math>c</math>-ra hurbiltzen den bitartean <math>f(c)</math>-ren berdina bada. Gainera, ''funtzioa'' jarraitua da puntu guztietan jarraitua bada. Funtzio bat ez-jarraitua da punturen batean ez jarraitua denean.

Funtzio baten jarraitutasunaren hainbat definizio existitzen dira. Batzuetan esaten da funtzio bat jarraitua dela jarraitua bada bere definizio-eremuko puntu guztietan. Adibidez, <math>f(x)=tan(x)</math> funtzioa jarraitua da bere definizio eremuan (zenbaki errealak non <math>x\neq (2n+1)\pi /2</math>, <math>n</math> edozein zenbaki oso izanda). Batzuetan, salbuespenak egiten dira definizio-eremuaren mugekin. Adibidez, <math>f(x)=\sqrt(x)</math> funtzioaren grafoa, bere erenua zenbaki erreal ez-negatiboak izanda; ezkerraldean amaiera puntua dauka. Kasu honetan eskuinaldeko limitea bakarrik behar da funtzioaren balioa lortzeko. Definizio honen arabera, <math>f</math> jarraitua da <math>x=0</math> mugan eta zenbaki ez-negatibo guztietan. Definiziorik arruntenaren arabera, funtzio bat jarraitua da zenbaki erreal guztietan jarraitua bada. Kasu honetan, aurreko bi adibideetako funtzioak ez dira jarraituak, baina edozein [[polinomio]]ren funtzioa jarraitua da, [[sinu]]a, [[kosinu]]a eta [[Funtzio esponentzial|esponentziala]] bezala. Beraz, ''jarraitu'' hitzaren erabilpen arduratsua egin behar da, testuinguruaren arabera bere esanahia aldatu daitekelako.

Notazio matematikoa erabilita, aurreko hiru zentzuetan jarraitutasuna definitzeko hainbat era daude.

Izan bedi
:<math>f\colon D \rightarrow \mathbf R \quad</math> zenbaki errealen <math>D</math> [[azpimultzo]]an definitutako funtzioa.

<math>D</math> azpimultzoa <math>f</math>-ren [[definizio-eremu]]a da. Aukera posibleen artean ondorengoak daude:
:<math>D = \mathbf R \quad </math> (zenbaki errealen multzo osoa), edo, <math>a</math> eta <math>b</math> zenbaki errealentzat,
:<math>D = [a, b] = \{x \in \mathbf R \,|\, a \leq x \leq b \} \quad </math> (<math> D </math> [[Tarte (matematika)|tarte itxia]] da), edo
:<math>D = (a, b) = \{x \in \mathbf R \,|\, a < x < b \} \quad </math> (<math> D </math> [[Tarte (matematika)|tarte irekia]] da).

<math>D</math> tarte irekia bada, <math>a</math> eta <math>b</math> ez dira mugak aurreko zentzuan bezala, eta beraz <math>f(a)</math>
eta <math>f(b)</math>-ren balioek ez dute ondoriorik <math>D</math>-ren gaineko jarraitutasunean.

==== Funtzioen limiteen bidezko definizioa ====
<math>f</math> funtzioa bere definizio-eremuko <math>c</math> puntuan jarraitua da <math>f(x)</math>-ren [[limite]]a <math>x</math> <math>c</math>-ra hurbiltzen den heinean (<math>f</math>-ren definizio-eremuan zehar) existitzen bada eta <math>f(c)</math>-ren berdina bada.<ref>{{Citation |hizkuntza=en| abizena=Lang | izena=Serge | egile-lotura=Serge Lang | izenburua=Undergraduate analysis | argitaletxea=[[Springer-Verlag]] | lekua=Berlin, New York | edizioa=2 | series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] | isbn=978-0-387-94841-6 | urtea=1997|atala=II.4}}</ref> Notazio matematikoan, hurrengoaren baliokidea da:
:<math>\lim_{x \to c}{f(x)} = f(c).</math>
Benetan, honek hiru baldintza inplikatzen ditu: lehenik, <math>f</math> <math>c</math> puntuan definituta dago (betetzen dena, <math>c</math> <math>f</math>-ren definizio-eremuan dagoelako). Bigarren, limitea existitu behar da. Hirugarren, limitearen balioa <math>f(c)</math>-ren berdina izan behar da.

(Asumitu dugu <math>f</math>-ren definizio eremuak ez duela [[puntu isolatu]]rik. Adibidez, tarteek edo tarteen bildurek ez dute puntu isolaturik.)

==== Inguruneen bidezko definizioa ====
<math>c</math> puntuaren [[ingurune (matematika)|ingurunea]] <math>c</math>-tik distantzia finko bat baino hurbilago dauden definizio-eremuko puntu guztiak dituen multzo bat da. Intuitiboki, funtzio bat jarraitua da <math>c</math> puntuan <math>f</math>-ren murrizketa <math>c</math>-ren ingurune batean <math>f(c)</math> puntu bakarrera txikitzen bada <math>c</math>-ren inguruko ingurunearen zabalera zerorantz doanean. Zehazki, <math>f</math> funtzioa jarraitua da bere definizio-eremuko <math>c</math> puntuan, baldin edozein ingurunerentzat <math>N_1(f(c))</math> existitzen bada ingurune bat <math>N_2(c)</math> non <math>f(x)\in N_1(f(c))</math>, <math>x\in N_2(c)</math> denean.

Definizio honek bakarrik behar du eremua eta koeremua espazio topologikoak izatea, eta ondorioz definiziorik orokorrena da. Definizio honetatik ondoriozta daiteke <math>f</math> funtzioa jarraitua dela bere definizio-eremuko [[puntu isolatu]] guztietan. Adibidez, zenbaki osoen gaineko balio errealetako funtzio guztiak jarraituak dira.

==== Segiden limiteen bidezko definizioa ====
[[Fitxategi:Continuity of the Exponential at 0.svg|thumb|<math>e^{1/n}</math> segida <math>e^0</math>-rantz doa.]]
Ordez, eskatu daiteke <math>c</math> punturantz konbergenteak diren definizio-eremuko elementuez osatutako <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[segida]] guztietarako <math>\left(f(x_n)\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> segida <math>f(c)</math> punturantz konbergentea izatea. Notazio matematikoan:
:<math>\forall (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \subset D,\lim_{n\to\infty} x_n=c \Rightarrow \lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(c)\,</math>

==== Weierstrassen eta Jordanen definizioa ====
[[Fitxategi:Example of continuous function.svg|eskuinera|thumb|ε-δ-definizioaren irudikapena: ε=0.5-rentzat, c=2, δ=0.5 balioak definizioaren baldintza betetzen du.]]
<math>f</math> funtzio bat emanda, bere definizio eremuko <math>x_0</math> puntuan jarraitua da baldin eta edozein <math>\varepsilon</math> positiborako existitzen bada <math>\delta</math> positibo bat non <math>x_0 -\delta < x <x_0+ \delta</math> betetzen duten <math>x</math> balioetarako

:<math> f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon.</math>

betetzen den. Beste era batean idatzita, <math>f</math> jarraitua bada definizio-eremuko <math>x_0</math> puntuan, edozein <math>\varepsilon</math> positiborako existitzen da <math>\delta</math> positiboa non definizio eremuko <math>x</math> guztietarako:

:<math>| x - x_0 | < \delta \Rightarrow | f(x) - f(x_0) | < \varepsilon. </math>

Era intuitiboago batean, honela esan daiteke: <math>f(x)</math> funtzioaren balioak <math>f(x_0)</math>-ren [[Ingurune (matematika)|ingurune]] batean egotea nahi bada, behar den gauza bakarra da <math>x_0</math>-ren ingurune egoki bat aukeratzea <math>x</math> aldagaiak balioak hartzeko. Nahi dugun beste txikitu ahal bada <math>f(x)</math>-ren ingurunea, orduan <math>f</math> jarraitua da <math>x_0</math>-ren inguruan.

Weierstrassek behartu zuen <math>x_0 -\delta < x <x_0+ \delta</math> tartea definizio eremuan egotera, baina Jordanek baldintza hori kendu zuen.

==== Ondarraren kontrolaren bidezko definizioa ====
Analisi numerikoan eta frogak egiteko, askotan beharrezkoa da jakitea zein azkarrak diren limiteen konbergentziak, hau da; ondarraren kontrola. Hori formalizatu daiteke jarraitutasunaren definizio bat sortzeko.

Funtzio bat <math>C: [0,\infty) \to [0,\infty]</math> kontrol-funtzioa da baldin
* <math>C</math> ez beherakorra bada.
* <math> \inf_{\delta > 0} C(\delta) = 0</math>

<math>f</math> funtzio erreala <math>C</math> jarraitua da <math>x_0</math>-n baldin

:: <math>| f(x) - f(x_0)| \le C(|x- x_0|)</math>, definizio eremuan dauden <math>x</math> guztietarako

Funtzio bat jarraitua da <math>x_0</math>-n <math>C</math>-jarraitua baldin bada <math>C</math> kontrol-funtzio baterako.

Estrategia hau erabiliz jarraitutasunaren kontzeptua findu daiteke erabili daitezkeen kontrol-funtzioak murriztuz. <math>\mathcal{C}</math> kontrol-funtzioen multzoa izanda, funtzio bat <math>\mathcal{C}</math>-jarraitua da baldin <math>C</math>-jarraitua bada <math> C \in \mathcal{C}</math> baterako. Adibidez, <math>\alpha</math> esponentedun [[Lipschitzen jarraitutasun|Lipschitzen]] eta [[Hölderren jarraitutasun]]ak hurrengo multzoekin definitzen dira:
::<math>\mathcal{C}_{\mathrm{Lipschitz}} = \{C |  C(\delta) = K|\delta| ,\  K > 0\} </math>
::<math>\mathcal{C}_{\text{Hölder}-\alpha} =</math><math> \{C | C(\delta)  = K |\delta|^\alpha, \ K > 0\} </math>.

==== Oszilazioen bidezko definizioa ====
[[Fitxategi:Rapid Oscillation.svg|thumb|Funtzio bat puntu batean jarraitua ez izatea bere oszilazioaren bidez kuantifikatu daiteke.]]
Jarraitutasuna [[oszilazio (matematika)|oszilazioen]] bidez definitu daiteke ere: <math>f</math> funtzioa jarraitua da <math>x</math> puntuan baldin eta soilik baldin bere oszilazioa puntu horretan zero bada, notazio matematikoan <math>\omega_f(x_0) = 0</math>.<ref>{{erreferentzia|hizkuntza=en|url=http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF|izenburua=Introduction to Real Analysis|abizena=Trench|izena=William F.|orrialdea=172|atala=3.5.2 teorema|data=2010-02}}</ref> Notazio honen abantaila bat ez-jarraitutasuna ''kuantifikatzen'' duela da: oszilazioak esaten du ''zenbatekoa'' den ez-jarraitutasuna puntu batean.

Definizio hau erabilgarria da [[multzo teoria deskribakor]]rean puntu ez-jarraituen multzoak eta puntu jarraituak (oszilazioa <math>\varepsilon</math> baino txikiagoa duten multzoen ebakidura ([[Gδ multzo|G<sub>δ</sub>]] multzo bat)) ikertzeko. Gainera, definizio honek [[Riemannen integral|Lebesgueren integragarritasun baldintzaren]] norabide bateko froga azkarra ematen du.<ref>{{erreferentzia|hizkuntza=en|url=http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF|izenburua=Introduction to Real Analysis|abizena=Trench|izena=William F.|orrialdeak=171-177|data=2010-02|atala=3.5 A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral}}</ref>

Oszilazioa ''ε''-''δ'' definizioaren berrantolapen baten baliokidea da, limiteak erabiliz oszilazioa definitzeko: puntu batean <math>\varepsilon_0> 0 </math> batentzat ez bada existitzen <math>\delta</math>-rik non baldintza betetzen den, orduan oszilazioa gutxienez <math>\varepsilon_0</math> da. Aldiz, <math>\varepsilon</math> guztientzat <math>\delta</math> existitzen bada, oszilazioa 0 da. Oszilazioen bidezko definizioa espazio topologikoetatik espazio metrikoetara doazen funtzioetara orokortu daiteke.

==== Hipererrealen bidezko definizioa ====
[[Augustin-Louis Cauchy|Cauchyk]] emandako jarraitutasunaren definizioa ideia intuitiboetan oinarritzen da: aldagaian egindako aldaketa [[Infinitesimo|infinitesimal]] batek funtzioaren balioan aldaketa infinitesimala eragiten du. [[Kalkulu ez-estandar]]raren bidez definizio hori matematikoki zehatza egin daiteke. Zuzen erreala zenbaki infinitu eta infinitesimalen bidez handitu daiteke [[zenbaki hipererreal]]ak sortzeko. Kalkulu ez-estandarrean jarraitutasuna horrela definitu daiteke, Cauchyren definizioa gaur egungo notaziora "itzuliz":

:<math>f</math> funtzio erreala jarraitua da <math>x</math> puntuan baldin bere hipererrealetako hedadura hurrengo propietatea betetzen badu: <math>dx</math> infinitesimal edozeinerako, <math>f(x+dx)-f(x)</math> infinitesimala da.<ref>{{cite web|url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html|izenburua=Elementary Calculus|lana=wisc.edu}}</ref>

=== Funtzio jarraituen eraikuntza ===
[[Fitxategi:Brent method example.svg|eskuinera|thumb|[[Funtzio kubiko]] baten grafoa leuna da. Funtzioa jarraitua da.]]

Funtzio baten jarraitutasuna ebaluatzeko prozesua sinplifikatu daiteke aurreko propietateak ebaluatuz funtzioaren "blokeetan". Erraza da frogatzea definizio-eremu batean jarraituak diren bi funtzioen batuketa jarraitua dela eremu horretan. Bi funtzio emanda
:<math>f, g\colon D \rightarrow \mathbf R</math>,

orduan funtzio jarraituen batura
:<math>s = f + g</math>
(<math>s(x) = f(x) + g(x)</math> izanda, <math>x\in D</math> guztientzat)
jarraitua da <math>D</math>-n.

Gauza bera gertatzen da funtzio jarraituen biderketarekin
:<math>p = f \cdot g</math>
(<math>p(x) = f(x) \cdot g(x)</math> izanda, <math>x \in D</math> guztientzat)
jarraitua da <math>D</math>-n.

Aurreko emaitzak [[funtzio konstante]]en eta [[identitate funtzio]]aren (<math>I(x)=x</math>) jarraitutasunarekin konbinatuz, [[funtzio polinomiko]]en jarraitutasuna zenbaki errealetan ondoriozta daiteke. Adibidez
:<math>f(x)=x^3+x^2-5x+3</math>
(eskuineko irudian irudikatua).

[[Fitxategi:Homografia.svg|eskuinera|thumb|[[Funtzio arrazional]] baten grafoa. Funtzioa ez dago definituta <math>x=-2</math> puntuan. Marra horizontala eta bertikala [[asintota]]k dira.]]

Era berean froga daiteke funtzio baten alderantzizkoa (biderkadurarekiko)
:<math>r = 1/f</math>
(<math>r(x) = 1/f(x)</math> izanda <math>x \in D</math> guztientzat non <math>f(x) \ne 0</math>)
jarraitua dela <math>D\smallsetminus \{x:f(x) = 0\}</math>-n.

Horrek inplikatzen du funtzio jarraituen zatiketa (<math>g</math>-ren erroak kenduta)
:<math>q = f/g</math>
(<math>q(x) = f(x)/g(x)</math> izanda <math>x \in D</math> guztientzat non <math>g(x) \ne 0</math>)
ere jarraitua dela <math>D\smallsetminus \{x:g(x) = 0\}</math>-n.

Adibidez, hurrengo funtzioa (eskuineko irudian)
:<math>y(x) = \frac {2x-1} {x+2}</math>

definituta dago zenbaki erreal guztientzat (<math>x= 2</math> izan ezik), eta jarraitua da puntu horietan. Beraz, funtzio jarraitua da. <math>x= 2</math> puntuan ez da jarraitua, puntu hori ez dagoelako funtzioaren definizio-eremuan. Ez da existitzen <math>F\colon \mathbf R \rightarrow \mathbf R</math> funtzio jarraiturik <math>y(x)</math>-rekin bat datorrenik <math>x\neq 2</math> guztientzat.

[[Fitxategi:Si cos.svg|thumb|sinc eta cos funtzioak.]]

[[Sinu]] funtzioa zenbaki erreal osoetan jarraitua denez, [[sinc funtzio]]a (<math>G(x)=sin(x)/x</math>) definituta dago eta jarraitua da <math>x\neq 0</math> erreal guztientzat. Kasu honetan, hala era, <math>G</math> zenbaki erreal guztietan jarraitua den funtzio batera ''luzatu'' daiteke; <math>G(0)=1</math> ezarriz. Izan ere, hori da funtzioaren limitea 0-rantz hurbiltzen denean:
: <math>G(0) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1.</math>

Beraz, ezarriz
:<math>
G(x) = 
\begin{cases}
\frac {\sin (x)}x & x \ne 0 \text{ bada }\\
1 & x = 0 \text{ bada },
\end{cases}
</math>

sinc funtzioa zenbaki erreal osoetan jarraitua den funtzio batean bihurtzen da. ''Puntu singular saihesgarri'' izena erabiltzen da kasu hauetan, non funtzioaren balioak definitu daitezke funtzioa jarraitua egiteko puntu zehatzetan.

Funtzioen arteko beste eragiketa bat [[funtzioen konposaketa]] da. Bi funtzio jarraitu izanda
:<math>\quad g\colon D_g \subseteq \mathbf R \rightarrow R_g \subseteq\mathbf R\quad\text{eta}\quad f\colon D_f \subseteq \mathbf R\rightarrow R_f\subseteq D_g,</math>
beraien konposizioa
(<math>c = g \circ f \colon D_f \rightarrow \mathbf R</math>), <math>c(x) = g(f(x))</math> izanda, jarraitua da.

Aurreko proposizioa erabiltzen lortzen da adibidez, <math>e^{\sin(\ln x)}</math> jarraitua dela <math>x > 0</math> guztietarako.

=== Funtzio ez-jarraituen zenbait adibide ===
[[Fitxategi:Discontinuity of the sign function at 0.svg|thumb|300px|Zeinu funtzioaren irudikapena. <math>\lim_{n\to\infty} \sgn\left(\tfrac 1n\right) \neq\sgn\left(\lim_{n\to\infty} \tfrac 1n\right)</math> dela ikus daiteke. Beraz, zeinu funtzioa ez-jarraitua da 0 puntuan.]]
Funtzio ez-jarraituen adibide bat [[Heavisideren eskailera funtzio]]a da (<math>H</math>), horrela definituta:

:<math>H(x) = \begin{cases}
1 &  x \ge 0 \text{ bada }\\
0 &  x < 0 \text{ bada }
\end{cases}
</math>

Hartu adibidez <math>\varepsilon = 1/2</math>. Ez dago <math>x = 0</math>-ren inguruko {{nowrap|<math>\delta</math>-ingurunerik}} (hau da, <math>(-\delta,\;\delta)</math> tarte irekia, <math>\delta > 0</math> izanda) non <math>H(x)</math>-ren balioak <math>H(0)</math>-ren {{nowrap|<math>\varepsilon</math>-ingurunean}} egongo diren (hau da, <math>(1/2,\;3/2)</math>-n). Intuitiboki, ez-jarraitutasun mota hau funtzioaren balioetan gertatzen den bat-bateko jauzia da.

Antzeko kasu bat [[zeinu funtzio]]arena da:
:<math>
\sgn(x) = \begin{cases}
\;\;\ 1 & x > 0 \text{ bada }\\
\;\;\ 0 & x = 0 \text{ bada }\\
-1 & x < 0 \text{ bada }
\end{cases}
</math>
ez-jarraitua da <math>x = 0</math> puntuan, baina jarraitua da beste puntu guztietan. Hurrengo adibide honetan:
:<math>f(x)=\begin{cases}
  \sin\left(x^{-2}\right)&x \ne 0 \text{ bada }\\
   0&x = 0 \text{ bada }
\end{cases}</math>
funtzioa jarraitua da puntu guztietan, <math>x = 0</math>-n izan ezik.

[[Fitxategi:Thomae function (0,1).svg|200px|eskuinera|thumb|Thomaeren funtzioaren irudikapena (0,1) tartean. Goiko puntuak <math>f(1/2) = 1/2</math> irudikatzen du.]]
Aurreko kasuen antzekoak diren funtzio ez-jarraituetaz gain, funtzio batzuek jokaera ''patologikoa'' daukate. [[Thomaeren funtzio]]aren kasua da:
:<math>f(x)=\begin{cases}
1   &x=0 \text{ bada }\\
\frac{1}{q}&x=\frac{p}{q}\text{(aukerarik txikiena) zenbaki arrazionala bada}\\
  0&x\text{ irrazionala bada}.
\end{cases}</math>
Thomaeren funtzioa zenbaki irrazional guztietan jarraitua da, eta ez-jarraitua zenbaki arrazional guztietan. Antzeko era batean, [[Dirichleten funtzio]]a ez da inon ez jarraitua
:<math>D(x)=\begin{cases}
  0&x\text{  irrazionala bada } (\in \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q})\\
  1&x\text{ arrazionala bada } (\in \mathbb{Q})
\end{cases}</math>

=== Propietateak ===

==== Tarteko balioaren teorema ====
[[Tarteko balioaren teorema]] [[existentzia teorema]] bat da, zenbaki errealen osotasunean oinarritua. Honela dio:

: <math>f</math> funtzio erreala jarraitua bada <math>[a,b]</math> [[tarte (matematika)|tarte itxian]] eta <math>k</math> zenbakia <math>f(a)</math> eta <math>f(b)</math>-ren artean badago, orduan exititzen da <math>c</math> zenbaki bat <math>[a,b]</math> tartean non <math>f(c)=k</math>.

Adibidez, ume bat 1&nbsp;m-ko altueratik 1.5&nbsp;m-ko altuerara hazten bada bi eta sei urte dituen bitartean, orduan, momenturen batean denbora tarte horretan umearen altuera 1.25&nbsp;m izan da.

Teorema honen ondorioz, <math>f</math> jarraitua bada <math>[a,b]</math> tartean eta <math>f(a)</math> eta <math>f(b)</math>-ren [[zeinu (matematika)|zeinuak]] ezberdinak badira, orduan <math>[a,b]</math> tarteko <math>c</math> puntu batean <math>f(c)</math>-ren balioa [[zero]] da.

==== Muturreko balioaren teorema ====
[[Muturreko balioaren teorema]]k (edo Weierstrassen teorema) horrela dio: edozein funtzio <math>f</math> <math>[a,b]</math> tarte batean (edo edozein multzo itxi eta bornatu) definituta badago eta bertan jarraitua bada, orduan funtzioak maximo bat dauka tarte horretan (existitzen da <math>c \in [a,b]</math> non <math>f(c) \geq f(x)</math> <math>[a,b]</math> tarteko <math>x</math> guztientzat). Gauza bera gertatzen da minimoarekin. Orokorrean, emaitza horiek ez dira agertzen funtzioa <math>(a,b)</math> tarte ireki batean definituta dagoenean; <math>f(x)=1/x</math> funtzioaren kasuan adibidez. Funtzio hori definituta dago eta jarraitua da <math>(0,1)</math> tartean, baina ez dauka maximorik ez-bornatua delako goitik.

==== Jarraitutasunaren erlazioa diferentziagarritasunarekin eta integragarritasunarekin ====
Edozein [[funtzio diferentziagarri]]
:<math>f\colon (a, b) \rightarrow \mathbf R</math>
jarraitua da, frogatu daitekeen bezala. Alderantzizkoa ez da egia: adibidez, [[balio absolutu]]aren funtzioa
:<math>f(x)=|x| = \begin{cases}
  \;\;\ x & x \geq 0 \text{ bada }\\
  -x & x < 0 \text{ bada }
\end{cases}</math>
edonon jarraitua da. Hala ere, ez da diferentziagarria <math>x=0</math> puntuan (baina beste puntu guztietan bada). [[Weierstrassen funtzio]]a puntu guztietan jarraitua da, baina ez da inon ez diferentziagarra.

<math>f</math> funtzio diferentziagarri baten [[deribatu]]ak <math>f'(x)</math> ez du zertan jarraitua izan. <math>f'(x)</math> jarraitua bada, <math>f(x)</math> jarraituki deribagarria da. Baldintza hori betetzen duten funtzioen multzoa <math>C^1 ((a,b))</math> da. Orokorrean, multzo ireki batetik zenbaki errealetara doazen funtzioen multzoari,
:<math>f\colon \Omega \rightarrow \mathbf R</math>
non <math>f</math> <math>n</math> aldiz diferentziagarria den eta <math>n</math>-garren deribatua jarraitua den, <math>C^n (\Omega)</math> deritzo. Ordenagailu grafikoen arloan, maila horiei <math>G^0</math> (posizioaren jarraitutasuna), <math>G^1</math> (tangentziaren jarraitutasuna) eta <math>G^2</math> (kurbaduraren jarraitutasuna) izenak ematen zaizkie batzuetan.

Edozein funtzio jarraitu
:<math>f\colon [a, b] \rightarrow \mathbf R</math>
[[Integral|integragarria]] da ([[Riemannen integral]]aren zentzuan, adibidez). Alderantzizkoa ez da betetzen, [[zeinu (matematika)|zeinuaren funtzioak]] (integragarria baina ez-jarraitua) frogatzen duen bezala.

==== Limite puntual eta uniformeak ====
[[Fitxategi:Uniform continuity animation.gif|Funtzio jarraituen segida bat <math>f_n(x)</math> non bere limitea <math>f(x)</math> ez da jarraitua. Konbergentzia ez de uniformea.|eskuinera|thumb]]
Funtzioen [[Segida (matematika)|segida]] bat emanda
:<math>f_1, f_2, \dotsc \colon I \rightarrow \mathbf R</math>
non limitea
:<math>f(x) := \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)</math>
definizio eremuko <math>x</math> guztientzat existitzen den, <math>f(x)</math> funtzioa segidaren [[Konbergentzia puntual|limite puntuala]] da. Limite puntual funtzioak ez du zertan jarraitua izan, <math>f_n</math> guztiak jarraituak badira ere; eskuinaldeko animazioan ikusten den bezala. Hala ere, <math>f</math> jarraitua da <math>f_n</math> funtzio guztiak jarraituak badira eta segida [[konbergentzia uniforme]]a badauka (konbergentzia uniformearen teoremaren ondorioa). Teorema hori [[funtzio esponentzial]]ak, [[logaritmo]]ak, [[erro karratu]] funtzioa eta [[funtzio trigonometriko]]ak jarraituak direla frogatzeko erabili daiteke.

=== Jarraitutasun norabidetua eta erdi-jarraitutasuna ===
<div style="float:right;">
<gallery>
Fitxategi:Right-continuous.svg|Funtzio eskuin-jarraitu bat
Fitxategi:Left-continuous.svg|Funtzio ezker-jarraitu bat
</gallery></div>
Funtzio ez-jarraituak era mugatu batean ez-jarraituak izan daitezkenez, jarraitutasun norabidetuaren (edo eskuin eta ezker-jarraitutasuna) eta [[erdi-jarraitutasun]]aren kontzeptuak agertzen dira. Intuitiboki, funtzio bat ''eskuin-jarraitua'' da ez badago jauzirik limitearen puntura hurbiltzean eskuinetik. Formalki, <math>f</math> eskuin-jarraitua da <math>c</math> puntuan hurrengoa betetzen baldin bada: edozein <math>\varepsilon > 0</math>-rentzat existitzen da <math>\delta > 0</math> non <math>c < x < c + \delta</math> betetzen duten <math>x</math> guztientzat

:<math> |f(x) - f(c)| < \varepsilon.</math>

Baldintza hau eta funtzio jarraituena ia berdinak dira: kasu honetan <math>c</math> baino handiagoak diren <math>x</math>-tarako bakarrik bete behar da. Aldiz, eskatzen bada baldintza betetzea <math>c - \delta< x < c</math> betetzen duten <math>x</math>-tarako, ''ezker-jarraitutasuna'' agertzen da. Funtzio bat jarraitua da baldin eta soilik baldin ezker eta eskuin-jarraitua bada.

Funtzio bat [[Erdi-jarraitutasuna|behe erdi-jarraitua]] da baldin egon daitezkeen jauziak behera badoaz, eta ez gora. Hau da, edozein <math>\varepsilon > 0</math>-rentzat existitzen da <math>\delta > 0</math> non <math>|x-c| < \delta</math> betetzen duen eta definizio-eremuan dagoen edozein <math>x</math>-rentzat hurrengoa betetzen den:
:<math>f(x) \geq f(c) - \varepsilon.</math>
Alderantzizko baldintza ''[[Erdi-jarraitutasuna|goi erdi-jarraitutasuna]]'' da.

== Espazio metrikoen arteko funtzioen jarraitutasuna ==

Funtzio erreal jarraituen kontzeptua [[espazio metriko]]en arteko funtzioetara orokortu daiteke. Espazio metriko bat <math>X</math> multzo bat da, funtzio batez (<math>d_X</math>) hornituta dagoena ([[Metrika (matematika)|metrika]] deritzo). Intuitiboki, <math>X</math>-ko edozein bi elementuen arteko distantzia neurtzen duen erregela da. Formalki, metrika honako funtzioa da:
:<math>d_X \colon X \times X \rightarrow \mathbf R</math>
Funtzio honek zenbait propietate betetzen ditu, [[desberdintza triangeluar]]ra nabarmenki. Bi espazio metriko (<math>(X, d_X)</math> eta <math>(Y, d_Y)</math> ) eta funtzio bat emanda,
:<math>f\colon X \rightarrow Y</math>
orduan <math>f</math> jarraitua da <math>c \in X</math>puntuan emandako metrikarekiko, baldin eta edozein <math>\varepsilon</math> positiborako existitzen bada <math>\delta</math> positiboa non <math>d_X(x,c)<\delta</math> betetzen du <math>X</math>-ko edozein <math>x</math> baliok <math>d_X(f(x),f(c))<\varepsilon</math> betetzen badu. Gainera, aurreko kasuko funtzio errealetan bezala; <math>c</math> limitea duen <math>X</math>-ko edozein <math>\{ x_n \}</math> segidarentzentat <math>\lim f(x_n)=f(c) </math> betetzea jarraitutasunaren definizo baliokidea da.

Jarraitutasunaren ideia hau erabiltzen da, adibidez, [[analisi funtzional]]ean. Adar honetako oinarrizko proposizio batek dio <math>V</math> eta <math>W</math> [[bektore espazio normadu]]en arteko [[Aplikazio lineal|operadore lineal]] bat
:<math>T\colon V \rightarrow W</math>
jarraitua dela baldin eta solik baldin [[Operadore lineal bornatu|bornatua]] bada, hau da, existitzen da <math>K</math> konstante bat non
:<math>\|T(x)\| \leq K \|x\|</math>
<math>x \in V</math> edozeinerako.

=== Jarraitutasun uniformea, Hölderriarra eta Lipschitziarra ===
[[Fitxategi:Lipschitz continuity.png|thumb|Funtzio Lipschitziar batentzat, kono bikoitza existizen da (zuriz). Bere bertizea mugitu daiteke grafoan zehar, grafoa beti konoaren kanpoan dagoelarik.]]
Espazio metrikoen arteko funtzioen jarraitutasuna zenbait eratan sendotu daiteke, mugatuz <math>\delta</math>-ren menpekotasuna <math>\varepsilon</math> eta <math>c</math>-rekiko (aurreko definizioan). Intuitiboki, <math>f</math> funtzioa [[jarraitutasun uniforme|uniformeki jarraitua]] da <math>\delta</math> ez bada <math>c</math> puntuaren menpekoa. Zehazki, beharrezkoa da edozein <math>\varepsilon</math> positiborentzat existitzea <math>\delta</math> positiboa non <math>d_X(b,c)<\delta</math> betetzen duten edozein <math>b,c \in X</math>-rentzat <math>d_Y(f(b),f(c))<\varepsilon</math> izatea. Beraz, edozien funtzio uniformeki jarraitu jarraitua da. Alderantzizkoa ez da betetzen orokorrean, baina betetzen da <math>X</math> [[Espazio trinko|trinkoa]] bada. Aplikazio uniformeki jarraituak [[espazio uniforme]]en egoera orokorreagoan definitu daitezke.<ref>{{Citation |hizkuntza=en| abizena=Gaal | izena=Steven A. | izenburua=Point set topology | argitaletxea=[[Dover Publications]] | lekua=New York | isbn=978-0-486-47222-5 | urtea=2009|atala=IV.10}}</ref>

Funtzio bat [[Hölderren jarraitutasun|Hölderriarra]] da <math>\alpha</math> berretzailearekin ([[zenbaki erreal]]a), existitzen bada <math>K</math> konstantea non <math>X</math>-ko edozein <math>b</math> eta <math>c</math>-rentzat hurrengo desberdintza betetzen den:
:<math>d_Y (f(b), f(c)) \leq K \cdot (d_X (b, c))^\alpha</math>
Edozein funtzio Hölderriar uniformeki jarraitua da. <math>\alpha = 1</math> kasu bereziari [[Lipschitzen jarraitutasuna]] deritzo. Hau da, funtzio bat Lipschitziarra da hurrengo desberdintza betetzen duen <math>K</math> konstantea existitzen bada
:<math>d_Y (f(b), f(c)) \leq K \cdot d_X (b, c)</math>
<math>X</math>-ko edozein <math>b</math> eta <math>c</math>-rentzat.<ref>{{Citation |hizkuntza=en| abizena=Searcóid | izena=Mícheál Ó | izenburua=Metric spaces | url=https://books.google.com/books?id=aP37I4QWFRcC | argitaletxea=[[Springer-Verlag]] | lekua=Berlin, New York | serie=Springer undergraduate mathematics series | isbn=978-1-84628-369-7 | urtea=2006|atala=9.4}}</ref> Lipschitzen baldintza agertzen da adibidez, [[Picard–Lindelöf teorema]]n, [[Ekuazio diferentzial#Ekuazio diferentzial arruntak|ekuazio diferentzial arrunten]] soluzioetaz arduratzen dena.

== Espazio topologikoen arteko funtzioen jarraitutasuna ==

Jarraitutasunaren beste kontzeptu abstraktuagoa [[espazio topologiko]]en arteko funtzioen jarraitutasuna da, non orokorrean ez dago distantziarik, [[espazio metriko]]en kasuan bezala. Espazio topologiko bat <math>X</math> multzo bat da beraren gaineko topologia batekin. <math>X</math>-ren gaineko topologia <math>X</math>-ren [[azpimultzo]]en familia da. Azpimultzoen arteko bildurei eta ebakidurei buruzko zenbait propietate bete behar dira: propietate horiek espazio metrikoetako [[bola ireki]]en propietateak orokortzen dituzte, puntu baten [[Ingurune (matematika)|ingurunea]] oraindik definituta dagoen bitartean. Topologia baten elementuei <math>X</math>-ren [[multzo ireki|azpiultzo ireki]] deritze (<math>X</math>-ren topologiarekiko).

<math>X</math> eta <math>Y</math> espazio topologikoen arteko funtzioa
:<math>f\colon X \rightarrow Y</math>
jarraitua da baldin eta <math>V \subseteq Y</math> edozein multzo irekirako bere [[Irudi (matematika)|aurreirudia]]
:<math>f^{-1}(V) = \{x \in X \; | \; f(x) \in V \}</math>
<math>X</math>-ren azpimultzo irekia bada. Hau da, <math>f</math> <math>X</math> eta <math>Y</math>-ren arteko funtzioa da, baina <math>f</math>-ren jarraitutasuna <math>X</math> eta <math>Y</math>-ren gaineko topologien menpekoa da.

Baldintza horren baliokidea da <math>Y</math>-ren [[multzo itxi]]en (multzo irekien osagarriak) aurreirudiak <math>X</math>-n itxiak izatea.

Adibidez, <math>X</math> multzoari [[topologia diskretu]]a (azpimultzo guztiak irekiak) ematen bazaio, edozein <math>Y</math> espazio topologikorainoko funtzio guztiak
:<math>f\colon X \rightarrow Y</math>
jarraituak dira. Aldiz, <math>X</math>-ri [[topologia indiskretu]]a (azpimultzo ireki bakarrak multzo hutsa eta <math>X</math> dira) ematen bazaio, eta <math>Y</math> espazioa gutxienez [[Kolmogorov espazio|T<sub>0</sub>]] bada, orduan funtzio jarraitu bakarrak funtzio konstanteak dira. Alderantziz, koeremu indiskretua duen edozein funtzio jarraitua da.

=== Puntu bateko jarraitutasuna ===
[[Fitxategi:continuity topology.svg|300px|eskuinera|frame|Puntu bateko jarraitutasuna: ''f''(''x'')-ren edozein ''V'' ingurunererako, existizen da ''x''-ren ingurunea ''U'' non ''f''(''U'') ⊆ ''V''.]]
[[Limite#Definizio zehatza|Epsilon-delta erako]] jarraitutasunaren definizioa inguruneen hizkuntzara itzuliz gero, puntu bateko jarraitutasunaren ondoko definizioa lortzen da:

{{Aipu|<math>f:X\rightarrow Y</math> funtzioa jarraitua da <math>x\in X</math> puntuan baldin eta soilik baldin <math>f(x)</math>-ren edozein <math>V</math> inguruneko <math>x</math>-ren ingurune bat <math>U</math> existizen bada non <math>f(U)\subseteq V</math>.}}

Definizio honen baliokidea da definizio bera baina ingurune irekietara murriztuta. Gainera, hainbat eratan berridatzi daiteke, irudien ordez [[Irudi (matematika)|aurreirudiak]] erabiliz.

Gainera, ingurune bat parte daukan edozein multzo ingurune bat denez, eta <math>f^{-1}(V)</math> <math>U</math>-ren azpimultzorik handiena denez non <math>f(U)\subseteq V</math> den; definizio hau horrela sinplifikatu daiteke:

{{Aipu|<math>f:X\rightarrow Y</math> funtzioa jarraitua da <math>x\in X</math> puntuan baldin eta soilik baldin <math>f^{-1}(V)</math> <math>x</math>-ren ingurunea bada <math>f(x)</math>-ren edozein <math>V</math> ingurunererako.}}

Multzo ireki bat bere puntu guztien ingurunea den multzoa denez, <math>f:X\rightarrow Y</math> funtzioa jarraitua da <math>X</math>-ren edozein puntutan baldin eta soilik baldin funtzio jarraitua bada.

<math>X</math> eta <math>Y</math> espazio metrikoak badira, baliokidea da <math>x</math>-n zentratutako [[bola ireki]]en [[ingurune sistema]] kontuan hartzea, ingurune guztiak hartu beharrean. Honek epsilon-delta jarraitutasunaren definizioa bueltatzen du espazio metrikoetan. Espazio topologiko orokorretan, ez dago ez distantziarik ez hurbiltasunik. Hala ere, helburu espazioa [[Hausdorff espazio|Hausdorff]] bada, oraindik ere egia da <math>f</math> jarraitua dela <math>a</math>-n baldin eta soilik baldin <math>f</math>-ren limitea <math>a</math>-ra hurbiltzen den heinean <math>f(a)</math> bada. Puntu isolatu batean, edozein funtzio jarraitua da.

=== Ordezko definizioak ===
Espazio topologikoak deskribatzeko tresna ezberdinak daudenez gero, zenbait definizio baliokide existitzen dira funtzio jarraitu bat definitzeko.

==== Segidak eta sareak ====
Hainbat testuingurutan, espazioaren topologia [[metatze puntu]]en bidez definitzen da. Zenbait kasuetan, hori lortzen da argituz noiz den puntu bat [[Konbergentzia (matematika)|segida baten limitea]], baina espazio orokorrago batzuetan, zehaztu behar da noiz den puntu bat [[Sare (matematika)|sare]] baten limitea. Funtzio bat jarraitua (Heinearra) da baldin eta segiden limiteak segiden limitetara eramaten baditu. Lehengo kasuan, limiteen kontserbazioa baldintza nahikoa da; bigarrenean funtzio batek segiden limiteak kontserbatu ditzake eta jarraitua ez izan, baina sareen kontserbazioa baldintza beharrezkoa eta nahikoa da.

Zehazki, <math>f:X\rightarrow Y</math> funtzioa segidaz jarraitua da baldin eta <math>f(x_n)</math> segidak <math>f(x)</math> limitea badu, <math>x_n</math> segida <math>x</math> limitea duen <math>X</math>-ko edozein segida izanda. Hortaz, segidaz jarraituak diren funtzioak segiden limiteak kontserbatzen dituzte. Funtzio jarraitu guztiak segidaki jarraituak dira, baina kontrakoa ez da orokorrean egia. <math>X</math> [[espazio lehen-kontagarri]]a bada, orduan alderantzizkoa ere gertatzen da: segiden limiteak kontserbatzen dituen funtzio bat jarraitua da. <math>X</math> espazio metrikoa bada jarraitutasuna eta segidako jarraitutasuna baliokideak dira; baina hori ez da zertan gertatu espazio topologiko orokorragoetan. Arrazoi honengatik, espazio topologikoen testuinguruan, sareak erabiltzen dira segidak baino. Funtzio jarraituek sareen limiteak kontserbatzen dituzte, izan ere propietate hori jarraitutasunaren karakterizazioa da.

==== Itxidura eragileen bitarteko definizioa ====
Espazio topologiko baten azpimultzo irekiak zehaztu beharrean, topologia [[Kuriatowskiren itxidura axiomak|itxidura eragileen]] (<math>cl</math> izendatuta) bitartez definitu daiteke; <math>cl</math> eragileak <math>A\subseteq X</math> edozein azpimultzo bere [[Itxidura (topologia)|itxidurara]] bidaltzen du. <math>int</math> barrualde eragileak <math>A\subseteq X</math> edozein azpimultzori bere [[Barrualde (topologia)|barrualdea]] esleitzen dio. Beraz, espazio topologikoen arteko funtzio bat
:<math>f\colon (X,\mathrm{cl}) \to (X' ,\mathrm{cl}')</math>
jarraitua da aurreko zentzuan baldin eta soilik baldin <math>A\subseteq X</math> azpimultzo guztietarako
:<math>f(\mathrm{cl}(A)) \subseteq \mathrm{cl}'(f(A)).</math>
betetzen bada. Hau da, <math>A</math>-ren itxituran dagoen <math>X</math>-ren edoezein <math>x</math> puntu hartuta, <math>f(x)</math> <math>f(A)</math>-ren itxituran dago. Horren baliokidea da esatea <math>A\subseteq X</math> azpimultzo guztietarako hurrengoa betetzen dela:
:<math>f^{-1}(\mathrm{cl}'(A')) \supseteq \mathrm{cl}(f^{-1}(A')).</math>
Gainera,
:<math>f\colon (X,\mathrm{int}) \to (X' ,\mathrm{int}') </math>
jarraitua da baldin eta soilik baldin
:<math>f^{-1}(\mathrm{int}'(A')) \subseteq \mathrm{int}(f^{-1}(A'))</math>
betetzen bada <math>A'\subseteq Y</math> edozeinentzat.

=== Propietateak ===
<math>f:X\rightarrow Y</math> eta <math>g:Y\rightarrow Z</math> jarraituak badira, <math>g\circ f:X\rightarrow Z</math> ere jarraitua da. <math>f:X\rightarrow Y</math> jarraitua bada eta
* <math>X</math> [[Espazio trinko|trinkoa]] bada, orduan <math>f(X)</math> trinkoa da.
* <math>X</math> [[Espazio konexu|konexua]] bada, orduan <math>f(X)</math> konexua da.
* <math>X</math> [[Lindelöf espazio|Lindelöf]] bada, orduan <math>f(X)</math> Lindelöf da.
* <math>X</math> [[Espazio banangarri|banangarria]] bada, orduan <math>f(X)</math> banangarria da.

Finkatutako <math>X</math> multzo baten gaineko topologia posibleak [[partzialki ordenatutako multzo|partzialki ordenatuta]] daude: <math>\tau_1</math> topologia [[Topologien konparaketa|lodiagoa]] da <math>\tau_2</math> topologia baino<ref group="o."> <math>\tau_1</math> topologia lodiagoa izatea <math>\tau_2</math> baino eta <math>\tau_2</math> topologia finagoa izatea <math>\tau_1</math> baino gauza bera dira, baina hitz ezberdinekin (biek <math>\tau_1 \subseteq \tau_2</math> esan nahi dute).</ref> <math>\tau_1</math>-eko edozein azpimultzo ireki <math>\tau_2</math>-n irekia bada. Ondorioz, <math>id_X</math> [[Identitate (matematika)|identitatea]]
:<math>id_X:(X, \tau_2) \rightarrow (X, \tau_1)</math>
jarraitua da baldin eta soilik baldin <math>\tau_1 \subseteq \tau_2</math> bada. Orokorrean, funtzio jarraitu bat
:<math>(X, \tau_X) \rightarrow (Y, \tau_Y)</math>
jarraitua izaten jarraitzen du <math>\tau_Y</math> topologia beste topologia lodiago batengatik ordezkatzen bada, edo <math>\tau_X</math> topologia beste topologia [[Topologien konparaketa|finago]] batengatik ordezkatzen bada.

=== Homeomorfismoak ===
Aplikazio jarraituaren kontzeptuaren antzekoa da [[aplikazio ireki]]arena, non multzo irekien irudiak irekiak diren. Egitan, <math>f</math> aplikazio irekiak [[alderantzizko funtzio|alderantzizkoa]] badauka, alderantzizkoa jarraitua da; eta <math>g</math> aplikazio jarraituak alderantzizkoa badu, alderantzizkoa irekia da. Bi espazio topologikoen arteko <math>f</math> [[bijekzio]] bat emanda, <math>f^{-1}</math> alderantzizkoak ez du zertan jarraitua izan. Alderantzizko jarraitua duen aplikazio jarraitu eta bijektiboari [[homeomorfismo]] deritzo.

Bijekzio jarraitu baten [[definizio-eremu]]a [[espazio trinko|trinkoa]] bada eta bere koeremua [[Hausdorff espazio|Hausdorff]] bada, orduan homeomorfismoa da.

=== Topologien definizioa funtzio jarraituen bitartez ===
Funtzio bat emanda
:<math>f\colon X \rightarrow S, </math>
non <math>X</math> espazio topologika den eta <math>S</math> multzo bat (topologiarik gabe), <math>S</math>-ren gaineko [[bukaera topologia]] definitu daiteke. <math>S</math>-ren multzo irekiak izango dira <math>S</math>-ren <math>A</math> azpimultzoak non <math>f^{-1}(A)</math> irekia den <math>X</math>-n. <math>S</math>-k aurretik topologia bat badauka, <math>f</math> topologia horrekiko jarraitua da baldin eta soilik baldin aurretiko topologia bukaera topologia baino [[Topologien konparaketa|lodiagoa]] bada. Hortaz, <math>S</math>-ren topologiarik finena non <math>f</math> jarraitua den bukaera topologiaren karakterizazio bat izango da. <math>f</math> [[funtzio supraiektibo|supraiektiboa]] bada, topologia hori kanonikoki identifika daiteke [[zatidura topologia]]rekin, <math>f</math>-k definitutako [[baliokidetasun-erlazio]]aren bitartez.

Gainera, <math>S</math> multzotik <math>X</math> espazio topologiko batera doan <math>f</math> funtzio batentzat; <math>S</math>-ko hasiera-topologiaren irekiak <math>S</math>-ren <math>A</math> azpimultzoak izango dira non <math>A = f^{-1}(U)</math>, <math>X</math>-ren <math>U</math> irekiren baterako. <math>S</math>-k aurretik topologia bat badauka, <math>f</math> topologia horrekiko jarraitua da baldin eta soilik baldin aurretiko topologia hasiera-topologia baino [[Topologien konparaketa|finagoa]] bada. Hortaz, <math>S</math>-ren topologiarik lodiena non <math>f</math> jarraitua den hasiera-topologiaren karakterizazio bat izango da. <math>f</math> [[funtzio injektibo|injektiboa]] bada, topologia hori kanonikoki identifika daiteke <math>S</math>-ren [[azpiespazio topologia]]rekin, <math>X</math>-ren azpimultzotzat hartuz.

<math>S</math> multzo baten gaineko topologia bat determina daiteke <math>S \rightarrow X</math> funtzio jarraitu guztien klaseen bitartez, <math>X</math> edozein espazio topologiko izanda. Dualki, antzeko ideia erabili daiteke <math>X \rightarrow S</math> funtzioekin.

== Lotutako kontzeptuak ==

Matematikako beste adar batzuek jarraitutasun kontzeptua erabiltzen dute esanahi ezberdin baina erlazionatuekin. Adibidez, [[ordena teoria]]n, ordena mantentzen duen <math>f\colon X \rightarrow Y</math> funtzioa <math>X</math> eta <math>Y</math> [[partzialki ordenatutako multzo]]en artean [[Scotten jarraitutasun|jarraitua]] da baldin eta <math>X</math>-ren azpimultzo bideratu bakoitzarentzat <math>\sup (f(A)) = f(\sup (A))</math> betetzen bada. Hemen, <math>\sup</math> <math>X</math> eta <math>Y</math>-ren ordenaketekiko [[Beheren eta goren|gorena]] da. Jarraitutasun kontzeptu hau jarraitutasun topologikoaren berdina da partzialki ordenatutako multzoek [[Scotten topologia]] daukatenean.<ref>{{Erreferentzia|hizkuntza=en|izena=Goubault-Larrecq,|abizena=Jean,|izenburua=Non-Hausdorff topology and domain theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/840936905|isbn=9781107034136|pmc=840936905|sartze-data=2018-12-26}}</ref><ref>{{Erreferentzia|hizkuntza=en|izenburua=Continuous lattices and domains|argitaletxea=Cambridge University Press|data=2003|url=https://www.worldcat.org/oclc/57254079|isbn=0511063563|pmc=57254079|sartze-data=2018-12-26}}</ref>

[[Kategoria teoria]]n, bi [[Kategoria (matematika)|kategorien]] arteko [[funktore]]a
:<math>F\colon \mathcal C \rightarrow \mathcal D</math>
''[[Funktore jarraitu|jarraitua]]'' da baldin eta [[Limite (kategoria teoria)|limite]] txikiekin konmutatzen badu. Hau da:
:<math>\varprojlim_{i \in I} F(C_i) \cong F \left(\varprojlim_{i \in I} C_i \right)</math>
edozein objektu-diagrama txikiarentzat <math>\mathcal C</math>-n.

''Jarraitutasun espazioa'' espazio metriko eta ''poseten'' orokortzea da,<ref>{{Erreferentzia|hizkuntza=en|izena=R.|abizena=Flagg|izenburua=Quantales and Continuity Spaces|data=1995|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.48.851|sartze-data=2018-12-26}}</ref><ref>{{Erreferentzia|hizkuntza=en|izena=Ralph|abizena=Kopperman|izenburua=All Topologies Come From Generalized Metrics|orrialdeak=89|data=1988-02|url=http://dx.doi.org/10.2307/2323060|aldizkaria=The American Mathematical Monthly|alea=2|zenbakia=95|issn=0002-9890|doi=10.2307/2323060|sartze-data=2018-12-26}}</ref> [[quantal]]en kontzeptua erabiltzen duena eta espazio metrikoen eta [[Domeinu teoria|domeinuen]] nozioa bateratzeko erabili daitekena.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Continuity spaces: Reconciling domains and metric spaces|orrialdeak=111–138|hizkuntza=en|data=1997-04-30|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397597002363|aldizkaria=Theoretical Computer Science|alea=1|zenbakia=177|issn=0304-3975|doi=10.1016/S0304-3975(97)00236-3|sartze-data=2018-12-26}}</ref>

== Bibliografia ==
{{Erreferentzia
| abizena = Hazewinkel
| izena = Michiel
| egile-lotura = Michiel Hazewinkel
| artikulua = Continuous function
| editore-abizena = 
| editore-izena = 
| entziklopedia = Encyclopedia of Mathematics
| liburukia = 
| orrialdeak = 
| argitaletxea = Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers
| lekua = Londres
| argitaratze-data = 1994
| artikulu-url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Continuous_function
| isbn = 978-1-55608-010-4
}}

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia_zerrenda|30em}}

== Oharrak ==
{{erreferentzia_zerrenda|taldea="o."}}

== Ikus, gainera ==
* [[Diniren jarraitutasun]]a
* [[Ekijarraitutasun]]a
* [[Ez-jarraitutasunen sailkapen]]a
* [[Jarraitutasun absolutu]]a
* [[Jarraitutasun simetriko]]a
* [[Prozesu estokastiko|Prosezu estokastiko jarraitua]]
* [[Zatikako funtzio]]ak

== Kanpo estekak ==
{{commonskat}}
{{itzulia erref|en|Continuous function|bertsioa=867007153|data=2018ko azaroaren 3ko|hizkuntza=Ingelesezko}}

[[Kategoria:Funtzioak]]
[[Kategoria:Analisi matematikoa]]