Eraztun (matematika)-en iturria ikusi

{{argitzeko|matematika-terminoari|Eraztun}}
[[Aljebra abstraktu]]an <math>(A,+,\cdot)</math> eraztuna da <math>A</math >multzorako <math>+</math>(gehiketa) eragiketak elkartze eta trukatze propietatea eta elementu alderantzizko eta neutroaren existentzia betetzen dituen, eta <math>\cdot</math>(biderketa edo produktua) elkartze propietatea eta banatze propietateak betetzen dituen [[egitura aljebraiko]]a.

== Definizioa: ==
<math>(A,+,\cdot)</math>Eraztuna da baldin:

* <math>+</math>eragiketa <math>A</math>-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: <math>\forall a,b,c \in A : (a+ b)+ c =a+ (b+ c)</math>
* <math>+</math>Propietate trukakorra betetzen du, hau da: <math>\forall a,b \in A: a+ b=b+ a</math>
* Existitzen da <math>0_A\in A</math>non <math>\forall a \in A : a+ 0_A = a</math>. <math>0_A</math><math>+ </math>eragiketarekiko elementu neutroa moduan denotatuko dugu.
* <math>A</math>-ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa (simetrikoa), hau da: <math>\forall a \in A , \exists a'\in A : a+ a'=0_A</math>
* <math>\cdot</math>eragiketa <math>A</math>-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: <math>\forall a,b,c \in A : (a\cdot b)\cdot c =a\cdot (b\cdot c)</math>
* <math>\cdot</math>eragiketa banatze propietatea betetzen du, hau da: <math>\forall a,b,c \in A : a\cdot (b+ c)=a\cdot b+a\cdot c</math>

Eraztunak definitzeko era sinpleagoa existitzen da:

<math>(A,+,\cdot)</math>Eraztuna da baldin:

* <math>(A,+)</math> [[talde abeldar]]ra da.
* <math>\cdot</math>eragiketa <math>A</math>-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: <math>\forall a,b,c \in A : (a\cdot b)\cdot c =a\cdot (b\cdot c)</math>
* <math>\cdot</math>eragiketa banatze propietatea betetzen du, hau da: <math>\forall a,b,c \in A : a\cdot (b+ c)=a\cdot b+a\cdot c</math>

== Adibideak: ==
<math>(\mathbb{Z},+,\cdot)</math>Eraztuna da, gehiketa eta biderketarekin:

<math>(i)</math><math>(\mathbb{Z},+)</math> Talde abeldarra da.

<math>(ii)</math>Biderketa propietate elkarkorra betetzen du.

<math>(iii)</math>Biderketa propietate banakorra betetzen du.

Beraz <math>(\mathbb{Z},+,\cdot)</math>eraztuna da.

<math>(\mathbb{N},+,\cdot)</math>ez da eraztuna <math>(\mathbb{N},+)</math>ez delako talde abeldarra.

Eraztunak: <math>(\mathbb{Z},+,\cdot),(\mathbb{Q},+,\cdot),(\mathbb{R},+,\cdot),(\mathbb{C},+,\cdot)</math>

==== Eraztun tribialak: ====
Eraztun mota berezi bat existitzen da, eraztun tribiala deiturikoa, non multzoaren elementu bakarra elementu neutroa den (elementu bakarreko multzoa):

<math>(\{0\},+,\cdot)</math>Eraztun bat da, <math>0</math>elementu bakarra duen multzoarekin.

* <math>\forall a,b,c \in \{0\}, a=b=c=0 : (0+ 0)+ 0 =0+ (0+ 0)</math>gehiketak elkartze propietatea betetzen du.
* <math>\forall a,b \in \{0\},a=b=0: 0+ 0=0+ 0</math>gehiketak trukatze propietatea betetzen du.
* Elementu neutroa existitzen da, <math>0</math>non <math>\forall a \in \{0\}, a=0: 0+0=0</math>
* <math>0</math>elementuaren alderantzizkoa <math>0</math>bera da.
* <math>\forall a,b,c \in A , a=b=c=0: (0\cdot 0)\cdot 0 =0\cdot (0\cdot 0)</math>biderketak elkartze propietatea betetzen du.
* <math>\forall a,b,c \in A , a=b=c=0: (0+ 0)\cdot 0 =0\cdot0+ 0\cdot 0</math>biderketak banatze propietatea betetzen du.

Beraz<math>(\{0\},+,\cdot)</math>eraztuna da, gainera tribiala elementu bakarreko multzoa eratzen duelako.

[[Kategoria:Aljebra abstraktua]]